probcond

Probabilité conditionnelle

Soient $p$ une probabilité sur $\Omega $ et $A$ et $B$ deux événements tels que $p(A) \neq 0$, l'application qui à tout événement $B$ associe le nombre réel $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ est une probabilité sur $\Omega$. On l'appelle probabilité conditionnelle relative à $A$ on la note $P_A(B)$ ou $P(B/A)$ Lire " $P$ de $B$ sachant $A$ " et bien faire attention aux énoncés. On en déduit la formule dite des probabilités composées : $p(A \cap B) = p(A) \times P_A(B)$. Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si et seulement si $p(A\cap B) = p(A)\times p(B) $ Ne pas confondre indépendant et incompatible Propriété : deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si on a : $P_A(B) = p(B)$ ou alors $P_B(A)=p(A)$ Comment comprendre le fait que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants ? : la réalisation de $A$ n'apporte aucune information sur la réalisation de $B$ Utilsation d'un arbre "probabiliste" pour calculer des probabilités c'est un arbre sur lequel on place des probabilités conditionnelles d'événements, cette présentation permet de rendre plus efficace le calcul de probabilité : Si on considère par exemple une probabilité $p$ sur un univers $\Omega$ $, A, B, C, M$ quatre évènements tels que $A, B, C$ forment une partition de $\Omega$ c'est à dire $A, B$ et $C$ sont incompatibles $2$ à $2$ et leur réunion est $\Omega$ voila l'arbre probabiliste que l'on peut construire alors : on peut alors de cette façon calculer la probabilité de l'évenement $M$ , la formule que l'on trouve s'appelle formule des probabilités totales : $P(M) = P(A ∩ M) + P(B ∩ M) + P(C ∩ M)$ $P(M) = P(A) × P_A(M) + P(B) × P_B(M) + P(C) × P_C(M)$ ( attention arbre probabiliste $\neq$ l'arbre à dénombrer ) Exercices sur les probabilités conditionnelles : BAC ES Exercice 2 Polynésie 2007 BAC ES Exercice 3 Pondichery 2007 BAC ES Exercice 3 Polynésie 2006 BAC S Exercice 3 Polynésie 2006 BAC S Exercice 4 Pondichery 2005 BAC ES Exercice 2 Pondichery 2006 BAC ES Exercice 1 Amérique du Nord 2007