proba

probabilité

Cette branche des mathématiques s'interresse à l'étude des phénomènes aléatoires c'est à dire les phénomènes ou expériences dont l'issue n'est pas prévisible à priori. Vocabulaire des probabilités : L'exemple choisi pour introduire le vocabulaire probabiliste est le jet d'un dé ) Epreuve ou expérience aléatoire : expérience pouvant être répétée dans des conditions identiques et dont l'issue n'est pas prévisible à priori. ( Le jet d'un dé en regardant le nombre correspondant sur la face supérieure est une expérience aléatoire ou une épreuve ) Eventualité , cas possible : résultat d'une épreuve, notée généralement $ω_1$, $ω_2$, .... (Exemple : $1,2,3,4,5,6$ sont les éventualités de l'expérience aléatoire définie ci-dessus comme exemple ) Univers : associé à une expérience aléatoire , ensemble des cas possibles d'une expérience aléatoire. L'univers est généralement noté $Ω$. ( exemple choisi $Ω = \{1,2,3,4,5,6\}$ ) Événement : partie de l'univers. ( Exemple : "obtenir un nombre pair" est un événement, $A = \{2,4,6\} $) Si une éventualité appartient à un événement, on dit qu'elle réalise cette événement. L'événement particulier $Ω$ est un événement particulier puisqu'il contient toute les éventualités d'une même expérience aléatoire , il est donc toujours réalisé on l'appelle événement certain. Aucune éventualité appartient à l'événement $∅$, il est donc jamais réalisé, $∅$ est appelé événement impossible. Événement élémentaire : événement réduit à une seule éventualité ( Exemple : "obtenir 6" est un événement élémentaire , $B= \{6\}$ ) Les événements étant des ensembles on peut définir les mêmes opérations que sur les ensembles. Si $A$ et $B$ sont deux événements d'une même expérience aléatoire : $\overline{A}$ le complémentaire de $A$ est appelé événement contraire de $A$. ( Exemple si $A$ est l'événement : $A$ :"Obtenir un nombre pair " , $A= \{2,4,6\}$ , $\overline{A}$ est l'événement contraire $\overline{A}$: " Ne pas obtenir de nombre pair " , $\overline{A}=$ $\{1,3,5\}$ ). Remarque deux événement contraire sont incompatibles. $A \cup B$ : l'événement $A \cup B$ est la réunion des événement $A$ et $B$ . ( Exemple si $A$ est l'événement : $A$ :"Obtenir un nombre pair " , $A= \{2,4,6\}$ , et $B$: " Obtenir un nombre supérieur ou égal à $4$ ", $B=\{4,5,6\} A \cup B$ : "Obtenir un nombre pair ou $\geqslant 4"$ et $A \cup B = \{2,4,5,6\})$ $A \cap B$ : l'événement $A\cap B$ est l'intersection des événement $A$ et $B$ . ( Exemple si $A$ est l'événement : $A$ :"Obtenir un nombre pair " , $A= \{2,4,6\}$ , et $B$: " Obtenir un nombre supérieur ou égal à $4$ ", $B=\{4,5,6\}\, \, \, \, \, A\cap B $: "Obtenir un nombre pair et $\geqslant 4$" et $A \cap B =\{4,6\})$ Si $A \cap B = \varnothing$, les événements $A$ et $B$ sont dit incompatibles , il ne peuvent pas se réaliser en même temps ( Exemple si $A$ est l'événement : $A$ :"Obtenir un nombre < $3$ " , $A= \{1,2\}$ , et $B$: " Obtenir un nombre supérieur ou égal à $4$ ", $B=\{4,5,6\}\, \, \, A \cap B$ : "Obtenir un nombre < $3$ et $\geqslant 4$" et $A \cap B = \varnothing)$. Dénombrement des cas possibles ou des éventualités Définition d'une probabilité sur un ensemble fini Propriétés d'une probabilité Équiprobabilité Probabilité conditionnelle et événements indépendants Théorème de Bayes Schéma de Bernouilli et distribution binomiale Intervalle de fluctuation d'une fréquence Intervalle de confiance d'une proportion Variable aléatoire Simulation d'expériences aléatoires