bernou

schéma de Bernoulli

Considérons une épreuve aléatoire qui ne donne lui qu'à deux éventualités exclusives : l'une succès $S$ et l'autre échec $E$. L'univers associé à cette épreuve est donc $\omega = \{ S ; E \}$ Soient $p$ la probabilité de l'événement $\{ S \}$ et $q$ la probabilité de l'évènement $\{ E \}$ on a alors $p + q = 1$ c'est à dire encore $q = 1 - p$ L'expérience consistant à répéter $n$ fois cetteépreuve de façon indépendante, est appelée suite d'épreuve de Bernoulli, ou schéma de Bernoulli. Un résultat de ce schéma pourrait être par exemple : $\underbrace{(\color{red}{E},\color{red}{E},\color{blue}{S},\color{blue}{S},\color{red}{E},\color{black}\cdots)}_{n\, épreuves}$ Considérons les événements suivants : $A$: " $3$ succès exactement dans un ordre précis préalablement défini (voir ci-dessous ) " $(\underbrace{\color{blue}{S},\color{blue}{S},\color{blue}{S}}_{\color{blue}{3\, succès}}\underbrace{\color{red}{E},\color{red}{E},\color{red}{E},\cdots}_{\color{red}{(n-3)\, échecs}})$ ${B}$ : " $3$ succès exactement dans n'importe quel ordre " on peut considérer les tirages comme étant indépendants donc on peut poser :$P(A)=\color{blue}{p}\times \color{red}{q}\times\color{blue}{p}\times\color{blue}{p}\times\color{red}{q\times\cdots \times q}=\color{blue}{p^3}\times\color{red}{q^{n-3}}$ $B$ est la réunion de plusieurs événements de même probabilité que $A$ incompatibles. Il y a $\mathrm{C}_n^3$ (combinaisons ) emplacements possibles de ces $3$ succès parmi les $n$ : $P(B)=\mathrm{C}_n^3\times\color{blue}{p^3}\color{black}{\times}\color{red}{q^{n-3}} $

On peut généraliser ce résultat à $k$ succès et donc $n - k$ échecs : $P(B)=\mathrm{C}_n^k\times\color{blue}{p^k}\color{black}{\times}\color{red}{q^{n-k}} $ Introduction à la distribution binomiale Dans une suite de $n$ épreuve de Bernoulli, quand on s'intéresse au nombre $X$ de succès obtenus au cours de cette suite, la probabilité de l'événement : " on obtient dans un ordre quelconque $k$ succès et $n - k$ échecs " est égal à $\fcolorbox{green}{yellow}{$P(B)=\mathrm{C}_n^k\times\color{blue}{p^k}\color{black}{\times}\color{red}{q^{n-k}}$}$ Pour aller plus loin remarque : $\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\mathrm{C}_n^k\times p^k\times q^{n-k}$ $ =\mathrm{C}_n^0\times p^0\times q^{n}+\mathrm{C}_n^1\times p^1\times q^{n-1}+\cdots +\mathrm{C}_n^n\times p^n\times q^{0}$ $=(p+q)^n$ $=1$ Inscription à : Articles (Atom) Popular Posts Accuiel MathsGalaxie Course Library :رسالة الى تلامذتنا و من ورائهم أولياء أمورهم .أمة تهين مربيها لا تستحق ا... Follow us on Facebook Accueil cours Algèbre Arithmétique Calcul littéral Complexes Fonctions Polynôme Statistiques Probabilité Suites et séries Géométrie Qcm & Exercice Intéractif 4ème année 3ème année 1ère & 2ème année Post bac Animation Maths Cours en slides Avec Geogebra Didacticiel Jeux Calculators Calculatrices Devoir interactive Fun with Math Albert Einstein Contact 2017 Hamda Abbes. Fourni par Blogger. EDUCATION MATHEMATIQUES $$\LaTeX $$ ANIMATION HTML5 $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \cos \left(x \right)-1}{x}=0$$ About Site Links Popular Posts Accuiel MathsGalaxie Course Library :رسالة الى تلامذتنا و من ورائهم أولياء أمورهم .أمة تهين مربيها لا تستحق ا... Copyrights @ Animé les Mathématiques - Blogger Templates & Theme By Templateism | Templatelib (91) 5544 654942 support@templateism.com Templateism