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Définition : un arrangement
de $p$ éléments sur un ensemble à n éléments
est une p-liste dans laquelle les éléments
sont deux à deux distincts. $( p \leqslant
n)$
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments
$E = \{ x_1 ; x_2; x_3 ; x_4
; ......; x_n \}$
Exemples d'arrangements de $p$ éléments :
$(x_1 ; x_2; x_3 ; x_4;.........;
x_p)$
$(x_2 ; x_1; x_3 ; x_4;.........;
x_p)$
$(x_2 ; x_3; x_4 ; x_5;.........;
x_{p+1})$
Remarque : il ne peut plus y avoir répétition
d'un même élément.
Nombre d'arrangement de $p$ éléments
pris dans un ensemble à $n$ éléments :
Le nombre d'arrangement de $p$ élément pris dans
un ensemble à $n$ éléments est égal à :
$\mathrm{A}_{n}^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1).$
pour le comprendre on peut faire un arbre :
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Dans l'exemple ci-dessous on a
dénombré à l'aide d'un arbre le nombre d'arrangements de 3 éléments
pris dans l'ensemble
$E =\{\color{#0000FF}{a}, \color{#FF0000}{b},
\color{#008080}{c}, \color{#FF00FF}{d} \}$
le nombre d'arrangements est :
$\mathrm{A}_{4}^{3}=\dfrac{4!}{(4-3)!}=\dfrac{4!}{1!}=4\times 3\times 2=24.$
L'ensemble de ces arrangements est $\{(a,b,c)
; (a,b,d), (b, a, d)\cdots \}$
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