binomiale

loi binomiale

Schéma de Bernoulli Soit une suite finie de $n$ expériences aléatoires identiques $1,2,...,n,$ indépendantes deux à deux ayant chacune deux issues possibles : un évenement $A$ se réalise ( succés ) ou ne se réalise pas (échec ). Notons $p$ la probabilité de l'évenement $A$. donc $q = 1 - p$ est la probabilité de l'évenement $\overline{A}$. Notons $A_k$ l'événement "$A$ se réalise exactement $k$ fois durant les $n$ expériences". $A_k$ peut se réaliser de plusieurs manières chacune deux à deux incompatibles, par exemple $A$ peut se réaliser durant les $k$ premières expériences aléatoires et ne pas se réaliser durant les $n - k$ dernières expériences aléatoires. Il y a $\mathrm{C}_n^k$ ou $\mathrm{C}_n^{n-k}$ façons de " placer " les $k$ évènements $A$ parmi les $n$ expériences aléatoires. La probabilité d'une de ces façon est égale à $p^k\times (1-p)^{n-k}$ Ce qui donne : $\fcolorbox{green}{yellow}{$P(A_k)=\displaystyle\binom{n}{k}\,p^k\times (1-p)^{n-k}=\mathrm{C}_n^{n-k}\,p^k\times (1-p)^{n-k}$}$ Ce schéma, est appellé schéma de Bernoulli, peut s'appliquer par exemple, dans le cas d'une suite de jets d'une pièce de monnaie ($A$ : " obtenir pile " ,$\overline{A}$ : obtenir face ) , en fait une expérience de Bernouilli est une expérience à laquelle on s'interesse à deux issues possibles $A$ ou $\overline{A}$ Loi Binomiale : On dit qu'une variable aléatoire $X$, à valeurs dans $\{0 ; 1 ; ...n\}$, suit une loi binomiale si sa loi de probabilité est : $\fcolorbox{green}{yellow}{$P(X=k)=\displaystyle\binom{n}{k}\,p^k\times (1-p)^{n-k}=\mathrm{C}_n^{n-k}\,p^k\times (1-p)^{n-k}$}$ avec $k \in \{0, 1, 2,..., n\}$, où $n$ est un entier naturel donné et où $p$ est un réel de $]0 ; 1 [$ $n$ et $p$ sont appelé paramètre de la loi et on dit $X$ suit une loi $B(n,p)$ Espérance et variance mathématique : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi $B(n, p)$ est : $\mathrm{E}(X) = np$ La variance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi $B(n, p)$ est : $\mathrm{V}(X) = npq = np(1 - p)$ pour $n =$ et $p =$ réel ou rationnel ? Loi de probabilité de $X$ jusqu'à $k =$ $\mathrm{E}(X) =$ , $\mathrm{V}(X) =$ Loi de probabilité représentée pour $p = \dfrac{1}{3}$ et $n = 5$ Fonction de répartition représentée pour $p = \dfrac{1}{3}$ et $n = 5$ pour $n = 10$ pour $n = 10$ pour $n = 30$ pour $n = 30$ exemple d'exercice sujet de BTS avec la loi Binomiale.