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Exemple d'énoncé pour comprendre
:
Dans une entreprise de $120$ salariés, on sait parler au moins
une langue parmi l'Allemand, l'Espagnol , l'Anglais.
$8$ personnes parlent les trois langues,
$2$ parlent l'Allemand et l'Espagnol mais pas l'Anglais,
$10$ parlent uniquement l'Espagnol,
$101$ personnes parlent l'Anglais,
$50$ personnes parlent l'Espagnol,
$52$ personnes parlent l'Allemand.
On veut déterminer :
- le nombre de personnes qui parlent l'Anglais
et l'Espagnol, mais pas l'Allemand.
- le nombre de personnes qui parlent l'Allemand
et l'Anglais mais pas l'Espagnol
- le nombre de personnes qui parlent l'Anglais
seul
- le nombre de personnes qui parlent l'Allemand
seul
on fait le graphe correspondant (appelé
diagramme de Venn)
Chaque disque correspond à un groupe de personne pratiquant
une langue ( sauf le rouge)
on peut distinguer une partition de $8$ ensembles
notons $a, b, c, d , e, f , g, h$ le nombre d'éléments
de chaque ensemble de cette partition, traduisons l'énoncé,
on a :
$\begin{cases}
~h = 0 \\
~a+b+c+d+e+f+g+h = 120\\
~g = 8\\
~f=2\\
~e=10\\
~a+b+c+g=101\\
~c+e+f+g=50\\
~b+d+f+g=52
\end{cases}%
$
$h=0, \, \, g=8, \, \, f=2, \, \, e=10$
$\begin{cases}
~a+b+c+d= 100\\
~a+b+c=93\\
~c=30\\
~b+d=42
\end{cases}\iff \begin{cases}
~d= 7\\
~a+b+c=93\\
~c=30\\
~b+d=42
\end{cases}\iff
\begin{cases}
~d= 7\\
~a+b= 63\\
~c=30\\
~b=35
\end{cases}\iff
\begin{cases}
~d= 7\\
~a=28\\
~c=30\\
~b=35
\end{cases}%
$
Il y a $c = 30$ personnes parlant l'Anglais et l'Espagnol ,
mais pas l'Allemand.
Il y a $b = 35$ personnes parlant l'Anglais
et l'Allemand mais pas l'Espagnol.
Il y a $d = 7$ personnes parlant l'Allemand uniquement.
Autre exemple : BAC
STI STI Arts appliqués - Probabilités
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