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division euclidienne

Propriété : toute partie non vide et majorée de $\mathbb{N}$ possède un plus grand élément.

Division euclidienne dans $\mathbb{N}$
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b \neq 0$, considérons l'ensemble $B$ des multiples de $b$ inférieurs ou égaux à $a$ :
$B =$ $\{$ $x\in \mathbb{N} ; x = kb$ avec $k\in \mathbb{N}$ et $x \leqslant a$$\}$
L'ensemble $B$ est non vide puisque $0\in B$,
$B$ est donc un sous ensemble de $\mathbb{N}$ non vide et majoré par $a$ .
Par suite $B$ admet un plus grand élément et il existe donc un entier naturel $q$ unique tel que :
$ bq \leqslant a < b(q +1)$ en posant $r = a - bq$ on peut dire qu'il existe un couple unique $(q, r)$ d'entiers naturels tel que :
$\begin{cases} a=bq+r \\[0.3cm] r < b \end{cases}$
On dit que $q$ est le quotient entier et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
Si $r = 0$ : $a$ est par définition divisible par $b$, on dit dans ce cas que $a$ est un multiple de $b$ ou que $b$ est un diviseur de $a$.
exemple : pour $a$ = , $b =$