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L'espérance mathématique est un paramètre de position,
les valeurs possibles d'une variable aléatoire gravitent autour
de cette valeur.
Variable aléatoire discrète ne prenant qu'un nombre fini
de valeurs :
Soit une variable aléatoire discréte X supposée prendre
un nombre fini de valeurs $x_1,x_2,\cdots ,x_n,x_{n+1},\cdots$ avec les probabilités :
$p_1=\mathrm(X=x_1), p_2=\mathrm(X=x_2),\cdots ,p_n=\mathrm(X=x_n).$
on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire
X le nombre réel noté $E(X)$ défini par :
$\mathrm{E}(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i\mathrm{P}(X=x_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_ip_i
= x_1p_1+x_2p_2+\times +x_np_n$
Exemple de calcul :
Espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$
suivant une loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$ :
$\mathrm{P}(X=k)=\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k} \ \ \ \ \ \ \ \ k\in\{0;1;2;\cdots ;n\}$
$\mathrm{E}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\times\mathrm{P}(X=k)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$
$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\times\dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^kq^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\times\dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^kq^{n-k}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}p^kq^{n-k}=np\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}p^{k-1}q^{n-k}$
$=np\displaystyle\sum_{k=1}^n\displaystyle\binom{n-1}{k-1}p^{k-1}q^{n-k}=np\displaystyle\sum_{l=0}^{n-1}\displaystyle\binom{n-1}{l}p^{l}q^{n-(l+1)}$
$=np\displaystyle\sum_{l=0}^{n-1}\displaystyle\binom{n-1}{l}p^{l}q^{(n-1)-l}=np(p+q)^{n-1}=np\times 1=np.$
Variable discrète prenant un nombre infini de valeurs :
Dans ce cas une variable aléatoire peut trés bien ne
pas avoir d'espérance mathématique.
Soit une variable aléatoire discréte $X$ supposée prendre
un nombre infini de valeurs $x_1,x_2,\cdots ,x_n,x_{n+1},\cdots$ avec les probabilités :
$p_1=\mathrm(X=x_1), p_2=\mathrm(X=x_2),\cdots ,p_n=\mathrm(X=x_n)\cdots $
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire
$X$ le nombre réel si il existe noté $\mathrm{E}(X)$ défini par
:
$\mathrm{E}(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}x_i\mathrm{P}(X=x_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}x_ip_i$
Variable continue :
Dans ce cas une variable aléatoire $X$ peut trés bien
ne pas avoir d'espérance mathématique , l'espérance
mathématique se calcul à partir de la densité$f(X)$ de loi de la variable
aléatoire :
$\mathrm{E}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)\,dx$
Propriétés de l'espérance mathématique
:
- si $X$ est une variable aléatoire à valeur positive, alors
$\mathrm{E}(X) \geqslant 0$.
- Linéarité de l'espérance mathématique
:
pour tout réel $a$ et $b$ et toutes variables aléatoires $X$
et $Y$ d'espérance mathématiques $\mathrm{E}(X)$ et $\mathrm{E}(Y)$ on a :
$\mathrm{E}(aX + bY) = a \mathrm{E}(X) + b\mathrm{E}(Y)$
- Si deux variables $X$ et $Y$ d'espérances mathématiques
respectives $\mathrm{E}(X)$ et $\mathrm{E}(Y)$ sont indépendantes on a : $\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$
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