varal3

variable aléatoire continue

Définition : soit Ω un univers , on dit qu'une variable aléatoire est continue si l'ensemble des valeurs de $X$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur donnée de l'intervalle est nulle. On ne peut donc plus définir de loi de probabilité comme pour les variables aléatoires discrètes. On va utiliser dans ce cas la fonction de répartition de la variable aléatoire. Fonction de répartition d'une variable aléatoire continue C'est l'application $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = P( X \leqslant x ) $ cette application est à valeur dans l'intervalle $[ 0 ; 1 ]$ puisqu'une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$. Quelques propriétés de la fonction de répartition : $P(X > x ) = 1 - F(x)$ pour tout réel $x$ $P( a < X < b ) = F(b) - F(a)$ pour tous réel $a$ et $b$ tel que $a < b$ La fonction $F$ est croissante et continue sur $\mathbb{R}$ $\displaystyle\lim_{\substack{x \to -\infty}}F(x)=0$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x \to +\infty}}F(x)=1$ Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue On appelle densité de probabilité toute fonction $f$ définie continue ( sauf éventuellement en un nombre fini de points ) et positive sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1$ Soit $X$ une variable aléatoire continue de fonction de répartition $F$ alors : $x$, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = F'(x)$ est une densité de probabilité appelé densité de probabilité de $X$ on a pour tout réel $x$ : $F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(x)\,\mathrm{d}x$ Espérance mathématique d'une variable aléatoire continue : L'espérance mathématique d'une variable continue $X$ est le nombre réel (si il existe ) , noté $E(X)$ défini par : $E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm{d}x$ Variance mathématique d'une variable aléatoire continue : La variance mathématique d'une variable continue $X$ est le nombre réel (si il existe ) , noté $V(X)$ défini par : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,\mathrm{d}x-E(X)^2$ Ecart - type L'écart type est la racine carrée de la variance : $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$