vitesse

Vitesse instantanée et nombre dérivé

Considérons un mobile M qui parcourt une certaine trajectoire, à chaque instant t, il se trouve à un endroit précis de la trajectoire. La distance d parcourue par le mobile M depuis l'instant de référence ou l'instant initial est fonction du temps t, on a donc d = f(t) où f est une fonction.
Supposons que f(t) = (syntaxe pour f(t) ) ,
pour la vitesse moyenne du mobile
de l'instant t₀ = à l'instant t₁ = il suffit d'appliquer la formule :

$\color{red}\text{V}\color{black}{\text{itesse}}=\dfrac{\color{red}\text{d}\color{black}\text{istance Parcourue}}{\color{red}\text{t}\color{black}\text{emps mis pour parcourir la distance}}$
ce qui donne :

La vitesse moyenne donne juste une indication globale sur l'allure du mobile entre t₀ et t₁ mais on ne peut pas affirmer que la vitesse a toujours été de entre t₀ et t₁ par exemple on ne sait pas quelle est la vitesse à l'instant t = t₀ autrement dit on ne connait pas la vitesse instantanée à t = t₀ , cette vitesse peut trés bien être inférieure, supérieure ou égale à la vitesse moyenne, pour tenter d'approcher cette vitesse instantanée , prenez un instant t₁ plus encore de t₀ et la vitesse moyenne.
on a :
$\color{red}\text{$V_{instantanée}$}\color{black}\text{$(t_0)$}=$
$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\color{blue}\text{$V_{moyenne}$}\color{black}\text{entre $t_0$ et t}=$
$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\dfrac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=$ $ f'(t_0)\approx \underbrace{\dfrac{f(t_1)-f(t_0)}{t_1-t_0}}_{\text{pour $t_1$ proche de $t_0$}}$