approxaff

approximation locale d'une fonction par une fonction affine

Considèrons une fonction $f$ définie par $f(x) =$ , et $a =$ un nombre réel où $f$ est définie et dérivable en $a$ , on veut comparer les nombres $ f(a + h)$ et $f(a) + f '(a) h $ pour = de plus en plus proche de $0$, donnez l'expression de $ f '(x) = $ et (syntaxe pour $f(x)$ et $f'(x)$)
Comme vous pouvez le constater les valeurs obtenues de $f(a + h)$ sont proches de $f(a) + f '(a) h$, autrement dit on peut approcher avec une certaine précision les images de nombres proches de $a$ par $f$ uniquement à partir de l'image de $a$ et du nombre dérivé en $a$. Comment expliquer ce résultat ? $\displaystyle\lim_{h\to 0}\Bigg[\color{red}{f(a+h)}\color{black}-\color{blue}\Big[f(a)+f'(a). h \Big] \color{black}\Bigg]$= $\displaystyle\lim_{h\to 0}\Bigg[\color{red}{f(a+h)}\color{black}-\color{blue}f(a)-f'(a). h \color{black}\Bigg]=$ $\displaystyle\lim_{h\to 0}h\Bigg[\color{green}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\color{black}+f'(a) \Bigg]=0$ Comment interpréter graphiquement cette approximation ? La courbe représentative de la fonction $f$ est remplacée par sa tangente en $a$, la tangente est la courbe représentative d'une fonction affine, on peut parler d'approximation locale par une fonction affine. Exercices corrigés (voir définition du nombre dérivé ) Didacticiel pour déterminer une approximation affine