nbderive

Fonction dérivée

La fonction dérivée a de multiples applications, comme la recherche de variations d'une fonction, le calcul de coefficient directeur d'une tangente de la courbe représentative d'une fonction, la recherche de primitive d'une fonction etc...
Avant de définir exactement la fonction dérivée, essayez de comprendre sur plusieurs activités ses applications.

1) Approche : nombre dérivé ( télécharger l'activité d'approche en .doc )
-----> activité d'approche
$f$ est une fonction et $D_f$ son ensemble de définition, $C_f$ sa courbe représentative.
on appelle nombre dérivé en a la limite quand $h$ tend vers $0$ (si elle existe) du nombre :

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
Ce nombre est appelé taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$.
On a :

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
interprétation graphique : Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ ( si il existe ) est le nombre réel $f '(a)$

Exemple : pour la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x²$

On trouve que le coefficient directeur de la droite $(AM)$ est égal à :

$\dfrac{2ah + h²}{h}$ ,ce qui donne pour $h$ différent de $0$ :$2a + h$.

Cette quantité tend vers $2a$ quand $h$ tend vers $0$

donc $f '(a) = 2a$.

Voir l'applet Geogebra pour comprendre

2) Fonction dérivée ( voir l'applet geogebra pour comprendre )

Soit $f$ une fonction définie sur une intervalle $I$ et dérivable en tout point $a$ de $I$, la fonction qui à tout réel $a$ de $I$ associe le réel $f '(a)$ est appelée fonction dérivée de $f$ sur $I$ et noté $f '$.

Dérivée de fonctions usuelles : ( --> activité.doc en module )

• la fonction carrée
• la fonction inverse
• la fonction racine carrée
• la fonction $x\mapsto x^n$
• la fonction cosinus
• la fonction sinus
• la fonction tangente
• la fonction logarithme népérien
• la fonction exponentielle

Opérations sur les dérivées :

• dérivée d'une somme
• dérivée d'un produit
• dérivée d'une fonction composée
• dérivée de l'inverse d'une fonction
• dérivée d'un quotient

^{Le formulaire des dérivées - primitives}

Exercices sur le calcul de dérivées + Correction des exercices
Calculs de dérivées de fonctions simples

3) Application de la dérivée

• Sens de variation d'une fonction dérivable
• Recherche d'extremum
• Equation de la tangente en un point d'abscisse donné
  
• Théorème de la bijection
• Approximation locale d'une fonction par une fonction affine
• Aspect cinématique du nombre dérivé
• Recherche de certaines limites avec le nombre dérivé
• Didacticiel : calcul du nombre dérivé
• Didacticiel : calcul de la dérivée d'une fonction polynôme
• Didacticiel : variations d'une fonction rationnelle