indeuler1

fonction indicatrice d'Euler (démonstration)

Propriété :

Si $m$ et $n$ sont premiers entre eux
alors $\varphi(m×n) = \varphi(m)×\varphi(n)$

démonstration :
Soient $m$ et $n$ deux entiers premiers entre eux , et conservons la définition du morphisme $g$ de la démonstration du théorème Chinois :

Notons $G_m$ le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (même chose pour $G_n$ et $G_{mn}$)
$[x]_{mn} \in G_{mn} \Rightarrow$
$\exists [y]_{mn} \in G_{mn}$ tel que $[x]_{mn}[y]_{mn} = [1]_{mn} \Rightarrow$
$g([x]_{mn}[y]_{mn}) = g([1]_{mn}) \Rightarrow$
$g([x]_{mn})g([y]_{mn}) = ([1]_{m},[1]_{n} )\Rightarrow$
$g([x]_{mn})$ est inversible dans $G_m \times G_n$
Réciproquement :
$g([x]_{mn})$ est inversible dans $G_m \times G_n \Rightarrow$
( $[x]_m , [x]_n$ ) est inversible dans $G_m \times G_n \Rightarrow$
( $[x]_m , [x]_n$ ) est inversible dans $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \Rightarrow$
$[x]_m$ et $[x]_n$ sont inversible
respectivement dans $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ et $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \Rightarrow$
donc $m$ est premier avec $x$ et $n$ est premier avec $x$ $\Rightarrow$
$x$ et $mn$ sont premiers entre eux
(puisque $m$ et $n$ premiers entre eux) $\Rightarrow$
$[x]_{mn}$ est inversible $\Rightarrow$
$[x]_{mn}\in G_{mn}$

L'application $g*$
$g* : (G_{mn}) \mapsto (G_m) \times (G_n)$ définie par :
$g* ([x]_{mn}) = g ( [x]_{mn} )$
est donc un isomorphisme de groupe entre $(G_{mn})$ et $(G_m) \times (G_n)$ il en résulte : $\mathrm{card}(G_{mn}) = \mathrm{card}(G_m) \times \mathrm{card}(G_n)$ d'où
$\varphi(m×n) = \varphi(m)×\varphi(n)$