varal1

variable aléatoire discrète

Soit $\Omega$ un univers fini et $p$ une probabilité sur $\Omega$. Exemple : $\Omega$ ensemble des résultats donnés par les faces supérieures de $2$ dès et $p$ l'équiprobabilité sur $\Omega$. $\Omega=\{(1;1); .......(6;6)\}$ $\mathrm{card}\Omega = 6² = 36 $ Définition : on appelle variable aléatoire définie sur $\Omega$ toute application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$, l'ensemble des valeurs prises par $X$ c'est à dire $X(\Omega)$ est appelé univers image. Lorque l'univers $\Omega$ est fini la variable aléatoire est dite discrète. Par rapport à l'exemple : considérons la somme des numéros indiqués sur les faces des deux dès, c'est une variable aléatoire, $X(\Omega) = \{2; .......;12\}$en est l'univers image. ( voir la simulation de cette expérience aléatoire ) Loi de probabilité d'une variable aléatoirediscrète Soit $X$ une variable aléatoire définie sur l'univers $\Omega$ , on définie sur l'univers image $X(\Omega)$ une probabilité $p_X$ par : Pour tout $x\neq X(\Omega)$ , $p_X(\{x\}) = p(\{\omega \neq \Omega$ tel que $X(\omega)=x \})$ L'ensemble $\{\omega \neq \Omega$ tel que $X(\omega)=x \}$ est noté plus simplement ${X = x }$ et $p_X (\{x\}) = p(X = x )$ . Ce sont des notations qu'il vaut mieux comprendre avec l'exemple : Si on nous demande la loi de probabilité de la somme X il faut donner les résultats suivants : $P(X=2)=\dfrac{1}{36}$ $P(X=3)=\dfrac{2}{36}$ $P(X=4)=\dfrac{3}{36}$ $P(X=5)=\dfrac{4}{36}$ $P(X=6)=\dfrac{5}{36}$ $P(X=7)=\dfrac{6}{36}$ $P(X=8)=\dfrac{5}{36}$ $P(X=9)=\dfrac{4}{36}$ $P(X=10)=\dfrac{3}{36}$ $P(X=11)=\dfrac{2}{36}$ $P(X=12)=\dfrac{1}{36}$ On remarque bien sur que : $\displaystyle\sum_{k=2}^{12}P(X=k)=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}+\cdots =1$ Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ d'univers image $X(\Omega) = \{x_1, x_2,\cdots , x_n \}$ est le nombre réel $E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_kP(X=x_k)=$ $x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+x_3P(X=x_3)+\cdots +x_nP(X=x_n)$ Pour ceux qui ont fait des statistiques $E(X)$ correspond à une moyenne les $x_k$ étant les équivalents des modalités et les $p(X = x_k)$ les équivalents des fréquences. Variance et écart type d'une variable aléatoire discrète La variance mathématique d'une variable aléatoire $X$ d'univers image $X(\Omega) = \{x_1, x_2,\cdots , x_n \}$ est le nombre réel $V(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^n(x_k-E(X))^2P(X=x_k) $ Pour ceux qui ont fait des statistiques $V(X) $correspond à une variance statistique les $x_k$ étant les équivalents des modalités et les $p(X = x_k)$ les équivalents des fréquences.L'écart type $\sigma_X$ est la racine carrée de la variance $(\sigma_X=\sqrt{V(X)})$. Fonction de répartition d'une variable aléatoirediscrète c'est la fonction définie sur $X(\Omega)$ par $F(x) = p(X< x)$ Calculs des éléments caractéristiques d'une variable aléatoire Inscription à : Commentaires (Atom) Popular Posts Accuiel MathsGalaxie Course Library :رسالة الى تلامذتنا و من ورائهم أولياء أمورهم .أمة تهين مربيها لا تستحق ا... Follow us on Facebook Accueil cours Algèbre Arithmétique Calcul littéral Complexes Fonctions Polynôme Statistiques Probabilité Suites et séries Géométrie Qcm & Exercice Intéractif 4ème année 3ème année 1ère & 2ème année Post bac Animation Maths Cours en slides Avec Geogebra Didacticiel Jeux Calculators Calculatrices Devoir interactive Fun with Math Albert Einstein Contact 2017 Hamda Abbes. Fourni par Blogger. EDUCATION MATHEMATIQUES $$\LaTeX $$ ANIMATION HTML5 $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \cos \left(x \right)-1}{x}=0$$ About Site Links Popular Posts Accuiel MathsGalaxie Course Library :رسالة الى تلامذتنا و من ورائهم أولياء أمورهم .أمة تهين مربيها لا تستحق ا... Copyrights @ Animé les Mathématiques - Blogger Templates & Theme By Templateism | Templatelib (91) 5544 654942 support@templateism.com Templateism