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Ensemble ${\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ des classes d'équivalence de congruence

Définition : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l'ensemble des classes d'équivalence pour la congruence modulo $n$ .

Propriété :
L'ensemble $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ comporte $n$ classes d'équivalence en effet , pour que deux entiers relatifs $x$ et $y$ soient congrus modulo $n$ dans $\mathbb{Z}$ , il faut et il suffit qu'ils aient le même reste dans la division euclidienne par $n$, or il y a $n$ restes distincts possibles dans une division euclidienne par $n$, ces $n$ restes sont : $ 0 ; 1 ; 2 ;....; n -1$.
Un élément de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est donc noté $\overline{x}$ ou $[x]_n$ , si le reste correspondant, dans la division euclidienne par $n$ est $x$.
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=$ $\left\{ \overline{0} ;\overline{1};\overline{2};\overline{3};\overline{4};\cdots;\overline{n-1} \right\}$

Addition dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ :
on sait que la somme de deux entiers relatifs congru modulo $n$ est encore un entier congru modulo $n$, l'addition dans $\mathbb{Z}$ induit sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, une addition commutative et associative admettant pour élément neutre la classe d'équivalence $\overline{0}$ :

• pour tous éléments $\overline{x}$ et $\overline{y}$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : $\overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y}$
• tout élément <$\overline{x}$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ admet pour cette loi $+$ un élément symétrique (opposé ) , $\overline{n-x}$ en effet :
  $\overline{x} + \overline{n-x} = \overline{0}$

on peut donc en conclure que $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ; +\right)$ est un groupe commutatif.

Remarque : pour visualiser les propriétés de l'additions dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, utilisez la table d'addition

Multiplication dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ :
On sait que le produit de deux entiers relatifs congru modulo $n$ est encore un entier congru modulo $n$, la multiplication dans $\mathbb{Z}$ induit sur $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$, une multiplication commutative et associative et distributive par rapport à l'addition (définie précédemment définie) admettant pour élément neutre la classe d'équivalence $\overline{1}$ :

• pour tous éléments $\overline{x}$ et $\overline{y}$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : $\overline{x}\times \overline{y} = \overline{x\times y}$
  
  

Remarque : pour visualiser les propriétés de la multiplication dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, utilisez la table de multiplication.
On peut donc en conclure que $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ; + ; \times \right)$ est un anneau commutatif et unitaire. (La commutativité de l'addition et de la multiplication sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est mise en évidence, par une symétrie des résultats par rapport à la diagonale descendante sur les tables d'addition et de multiplication.)

Eléments inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $\left( n\in\mathbb{N}^* \right)$
Les éléments inversibles de l' anneau $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ; + ; \times \right)$ sont les éléments qui admettent des symétriques pour la seconde loi $\times$ de l'anneau. ( pour comprendre utilisez la table de multiplication dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et regardez les couples dont les produits sont égaux à $\overline{1}$, vous verrez que dans certains cas, certains éléments n'ont pas d'inverse pour la multiplication)

Propriété : les éléments inversibles $\overline{x}$ dans l'anneau
$\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ; + ; \times \right)$ sont les éléments tels que $x$ et $n$ sont premiers entre eux.

Démonstration :
$\overline{x}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $\Longleftrightarrow$
$ \exists \overline{y} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $; \overline{x}\overline{y} = \overline{1} \Longleftrightarrow$
$\exists y \in \mathbb{Z}$ $; xy \equiv 1 \,(\mod n) \Longleftrightarrow$
$\exists (k ; y) \in \mathbb{Z}^2 ; xy - 1 = k n \Longleftrightarrow$
$\exists (k ; y) \in \mathbb{Z}^2 ; xy - k n= 1 \Longleftrightarrow$
$x$ et $n$ sont premiers entre eux ( théorème de Bezout )

Propriété importante
$\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ; + ; \times \right)$ est un corps $\Longleftrightarrow n$ est un nombre premier

Démontration :
$\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ; + ; \times \right)$ est un corps $\Longleftrightarrow$
$\forall \overline{x} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} - {\overline{0}} , \overline{x}$ est inversible $\Longleftrightarrow$
$\forall \overline{x} \in \{ \overline{1}; \overline{2};\cdots; \overline{n-1} \} , \overline{x}$ est inversible $\Longleftrightarrow$
$\forall x \in { 1; 2;\cdots; n-1} , x$ et $n$ sont premiers entre eux $\Longleftrightarrow$
$n$ est premier.

• Tables d'addition et de multiplication dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
• Théorème Chinois