varal2

variable aléatoire à valeur dans un ensemble dénombrable

Lorsqu'une variable aléatoire $X$ prend une infinité dénombrable de valeurs $x_1,x_2,\cdots ,x_n,x_{n+1},\cdots$ c'est à dire lorque l'univers image est dénombrable, on peut généraliser les définitions et propriétés d'une variable aléatoire discrète dans le cas où $X$ prends une infinité dénombrable de valeurs. Soit $X$ une telle variable aléatoire. Notons l'univers $X(\Omega) = \{ x_1,x_2,\cdots ,x_n,x_{n+1},\cdots \}$ où $n$ est un entier naturel non nul . Loi de probababilité d'une variable aléatoire Déterminer la loi de probababilité de la variable $X$ , c'est déterminer les couples : $x_n$ ; $P(X = x_n )$ pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}^*$. On a bien sur : $\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}\mathrm{P}(X=x_i)=\displaystyle\sum_{i\in \mathbb{N}}\mathrm{P}(X=x_i)=1$ Espérance mathématique d'une variable aléatoire L'espérance mathématique est le nombre réel : $\mathrm{E}(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}x_i\times\mathrm{P}(X=x_i)$ ( à condition que la série soit convergente ) Variance mathématique La variance mathématique est le nombre réel : $\mathrm{V}(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}\left(x_i-\mathrm{E}(X)\right)^2\times \mathrm{P}(X=x_i)$ ( à condition que la série soit convergente ) Fonction de répartition d'une variable aléatoire c'est la fonction définie sur $X(\Omega)$ par $F(x) = p(X< x)$