Ensemble de définition d'une fonction
| Qu'est ce qu'une fonction numérique de variable réelle ? | |
| Soit $D$ un ensemble de nombre réel ( $\mathbb{R}$ ou une partie de $\mathbb{R}$) . | |
| Lorsqu' à chaque nombre réel $x$ de $D$ on fait correspondre un nombre réel et un seul, on dit que l'on définie une fonction sur $D$. | |
| Exemple : soit la fonction qui à tout réel de l'intervalle $[-1;1]$ on fait correspondre son carré augmenté de $1$ alors peut résumer par : | |
| $f$ définie sur $[-1;1]$ par $f(x) = x^2 + 1$ ou alors par | |
| $f \colon [-1\,;1[ \to \mathbb{R}$ $ x \mapsto x^2+1$ |
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| L'ensemble $D$ est appelé ensemble de définition de la fonction. | |
| L'ensemble de définition d'une fonction
est donné arbitrairement dans l'énoncé définissant la fonction sinon il
est à déterminer naturellement. Remarque : soit $a$ un nombre réel et $D_f$ l'ensemble de définition d'une fonction, si $a ∈ D_f$, on dit que $f$ est définie en $a$ , si $a \notin Df$ ,$f$ n'est pas définie en $a$. |
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Antécédents et images par une
fonction  Lorsqu'une fonction $f$ est définie sur un ensemble $D$, pour chaque nombre appartenant à $D$, le nombre qui lui correspond est appelé son image. Exemple : si on reprend la fonction $f$ définie sur $[-1;1]$ par $f(x) = x^2 + 1$, L'image de $0$ est le nombre $1$ par la fonction $f$. L'image de $\dfrac{1}{2}$ est le nombre $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 1 = \dfrac{5}{4}$, on peut dire aussi $\dfrac{1}{2}$ a pour image $\dfrac{5}{4}$ par $f$ et noté simplement $f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{5}{4}$. Inversement, à partir d'un nombre réel $b$ fixé, peut-on déterminer un réel a qui a pour image $b$, si oui, le nombre réel $a$ est appelé un antécédent de $b$ par $f$. Exemple : $1$ admet un admet un seul antécédent par la fonction que l'on a définit plus haut, en effet $f(0) = 1$, et il n'existe pas d'autre réel dont l'image est $1$, en effet l'équation $x^2 + 1 = 1$ admet une seule solution. Prenons le nombre $\dfrac{5}{4}$, on a vu que $\dfrac{1}{2}$ avait pour image $\dfrac{5}{4}$, on peut donc en déduire que $\dfrac{1}{2}$ est un antécédent de $\dfrac{5}{4}$ ( mais ce n'est pas forcément le seul ) en effet un antécédent de $\dfrac{5}{4}$ doit être solution de l'équation $x^2 + 1= \dfrac{5}{4}$ cette équation admet deux solutions $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{5}{4}$ admet deux antécédents qui sont $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{1}{2}$. Prenons le nombre $0$, ce nombre n'a pas d'antécédent en effet il n'existe aucun réel $x$ qui a pour image $0$ par $f$ puisque l'équation $x^2 + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $[-1 ; 1]$ ( pas plus dans $\mathbb{R}$ ) Graphiquement : on retrouve l'image du nombre réel $a$ : En lisant l'ordonnée $b$ du point d'abscisse $a$ de la courbe  Graphiquement : on retrouve l'antécédent du nombre réel $b$ : En lisant les abscisses des points d'ordonnées $b$ de la courbe  Applet geogebra pour comprendre |
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Recherche de l'ensemble de définition d'une $f$ quand il n'est pas donné dans l'énoncé : On utilise les résultats suivants :
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