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indicateur d'Euler

Définition :
Soit $n$ un entier naturel non nul, soit $G_n$ le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, on appelle indicateur d'Euler de $n$ l'entier
$\varphi(n) = card(G_n)$

Propriétés :

• $\varphi(n)$ est le nombre d'entiers naturels non nuls inférieurs à $n$ qui sont premiers avec $n$ en effet
  $G_n = \{ \overline{x} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}; \overline{x}$ inversible$\}$
  $= \{ \overline{x} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}; x $ est premier avec $n$ $\}$ ( voir démonstration )
  $= $ { $ \overline{x}\in$ $\left\{\overline{1};\overline{2};...;\overline{n-1}\right\}$ ; $x$ est premier avec $n$ }
  $P_n = ${ $x\in {1 ; 2 ; ... ; n - 1} ; x$ est premier avec $n$ }
  $card( G_n ) = card (P_n)$
  
  $\varphi$( )= $= card$ { }
  
  
• Si $n$ est premier alors $\varphi(n) = n - 1 $
  
  
• Si $m$ et $n$ sont premiers entre eux alors $\varphi(m×n) = \varphi(m)×\varphi(n)$
  démonstration
  
  
• Si $n_1, n_2, n_3, ......,n_p$ sont des diviseurs de $n$ alors :
  $n = \varphi(n_1) + \varphi(n_2) + \varphi(n_3) +..........+ \varphi(n_p)$